จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม ประกอบไปด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3, …) จำนวนลบ (−1, −2, −3, ...) และจำนวนศูนย์ เซตของจำนวนเต็มมักเขียนอยู่ในรูป Z (หรือZ ในรูปตัวใหญ่บนกระดานดำ ), ซึ่งมาจากคำว่า Zahlen (ภาษาเยอรมัน). สาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับระบบจำนวนเต็มนี้คือ ทฤษฎีจำนวน

สมบัติทางพีชคณิต

Z เป็นเซตปิดสำหรับการบวกและการคูณ นั่นคือ ผลบวกและผลคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน เป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ด้วยสมบัติของจำนวนลบ Z ยังเป็นเซตปิดสำหรับการลบอีกด้วย แต่ Z ไม่เป็นเซตปิดสำหรับการหาร เนื่องจากผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน (เช่น 1 หารด้วย 2) ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม

ตารางด้านล่างแสดงสมบัติพื้นฐานของการบวกและการคูณของจำนวนเต็ม a,b และ c ใดๆ

	การบวก	การคูณ
สมบัติการปิด:	a + b เป็นจำนวนเต็ม	a × b เป็นจำนวนเต็ม
สมบัติการเปลี่ยนหมู่:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
สมบัติการสลับที่:	a + b = b + a	a × b = b × a
การมีสมาชิกเอกลักษณ์:	a + 0 = a	a × 1 = a
การมีตัวผกผัน:	a + (−a) = 0
สมบัติการแจกแจง:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

ตามศัพท์ของพีชคณิตนามธรรม คุณสมบัติห้าข้อแรกข้างบนสามารถบอกได้ว่าเซต Z กับการบวกเป็น อบิเลียนกรุป

หมายเหตุ: จำนวนเต็มไม่นิยามการหารในทุกกรณี

สมบัติการเรียงลำดับ

Z เป็น เซตเรียงลำดับที่ไม่มีขอบเขตบนหรือขอบเขตล่าง. การเรียงลำดับของ Z อยู่ในรูป

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

จำนวนเต็มหนึ่งๆ จะเป็นจำนวนบวก ถ้ามันมากกว่าศูนย์ และเป็นจำนวนลบ ถ้ามันน้อยกว่าศูนย์ สำหรับศูนย์ ไม่ได้จัดอยู่ในจำนวนบวกหรือจำนวนลบแต่อย่างใด

การเรียงลำดับจำนวนเต็มโดยใช้การดำเนินการทางพีชคณิต ดังนี้

1. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d
2. ถ้า a < b และ 0 < c แล้ว ac < bc
3. ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc.

จำนวนเต็มในการคำนวณ

จำนวนเต็มมักเป็นชนิดข้อมูลพื้นฐานในภาษาโปรแกรม แต่จำนวนเต็มในภาษาโปรแกรมมีความจุจำกัด และมักมีจำนวนบิตที่ตายตัว ทำให้สามารถเก็บค่าได้แค่บางส่วนจากจำนวนเต็มทั้งหมดทางคณิตศาสตร์ แต่ในอีกด้านหนึ่ง แบบจำลองทางทฤษฎีทางคำนวณ เช่น เครื่องจักรทัวริง สมมุติให้เครื่องคำนวณมีความจุไม่มีที่สิ้นสุด

สืบค้นจาก วิกิพีเเดีย